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本书由线性泛函分析初步、非线性算子微积分、算子半群基础、拓扑度、不动点理论及其在微分方程中的应用和算子半群理论在微分方程中的应用等六部分组成，为研究线性和非线性问题提供基本的数学工具和方法。

第1章线性泛函分析初步

1.1距离空间及紧性

1．1．1距离空间的概念

1．1．2收敛及完备性

1．1．3紧性与全有界

1．1．4压缩映射原理

1．2赋范线性空间与线性算子

1．2．1赋范线性空间

1．2．2内积空间

1．2．3有界线性算子

1．2．4对偶空间

1．3泛函分析基本定理

1．3．1基本定理

1．3．2自反空间

1．3．3全连续算子

1．4紧算子的谱

1．4．1基本概念

1．4．2谱的简单性质

1．4．3紧算子的谱

1．5向量值解析函数与谱映照定理

1．5．1向量值解析函数的概念

1．5．2向量值解析函数的性质

1．5．3谱映照定理

第1章练习题

第2章非线性算子微积分

2．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．2连续算子的性质

2．1．3全连续算子的概念

2．1．4全连续算子的性质与等价刻画

2．2抽象函数的积分

2．2．1抽象函数的Riemann积分

2．2．2Bochner积分

2．3非线性算子的可微性与解析性

2．3．1Gateaux微分与导数

2．3．2Fréchet微分与导数

2．3．3偏导数

2．3．4解析算子

2．4多重线性算子与高阶微分

2．4．1n重线性算子

2．4．2高阶微分与高阶导数

2．5非线性算子的Taylor公式与幂级数展开

2．5．1非线性算子的Taylor公式

2．5．2抽象幂级数及其收敛性

2．5．3解析算子的幂级数展开

2．6梯度算子与单调算子

2．6．1非线性泛函的梯度

2．6．2单调算子与凸泛函

2．7隐函数定理

2．7．1Cp映射

2．7．2隐函数存在定理

2．7．3隐函数的可微性

2．7．4Newton迭代方法

2．8泛函极值及条件

2．8．1速降线问题及其求解

2．8．2泛函极值的必要条件

2．8．3下半弱连续条件与泛函极值的存在性

2．8．4陡下降法

2．8．5PalaisSmale条件与泛函极值存在性

第2章练习题

第3章算子半群基础

3．1算子半群的基本概念与性质

3．1．1算子半群的概念与性质

3．1．2C0半群的性质

3．1．3一致连续半群的等价刻画

3．2无穷小生成元的特征

3．2．1C0半群的无穷小生成元的特征

3．2．2耗散算子与压缩C0半群

3．2．3应用

3．3解析半群与扇形算子

3．4分数幂算子与分数幂空间

3．4．1分数幂算子

3．4．2分数幂空间

第3章练习题

第4章拓扑度

4．1预备知识

4．1．1连续映射规范化与光滑逼近

4．1．2临界点与Sard定理

4．1．3散度与积分

4．2Brouwer度

4．2．1C1类映射的拓扑度的导数表示

4．2．2C1类映射的拓扑度的积分表示

4．2．3Brouwer度及其基本定理

4．2．4零点指数与乘积定理

4．3LeraySchauder度

4．3．1关于推广Brouwer度的讨论

4．3．2LeraySchauder度的建立

4．4拓扑度的应用

4．4．1Brouwer不动点定理

4．4．2LeraySchauder不动点定理

4．4．3连续映射为满射的条件

4．4．4在微分方程中的应用

第4章练习题

第5章不动点理论及其在微分方程中的应用

5．1不动点理论概述

5．1．1经典不动点定理

5．1．2线性算子扰动下的压缩型不动点定理

5．1．3混杂压缩型不动点定理

5．1．4集值不动点定理

5．2不动点理论在时滞微分方程的应用

5．2．1特定函数空间中的不动点定理

5．2．2时滞脉冲边值问题

5．2．3生物数学中的几个时滞模型

5．2．4时滞积分微分方程

5．3不动点理论在分数阶微分方程的应用

5．3．1分数阶微分方程的存在性

5．3．2带扩散影响的分数阶微分方程

5．3．3分数阶边值问题解的存在性

5．4不动点理论在Banach空间中的微分方程的应用

5．4．1波动方程的时间周期解

5．4．2时滞反应扩散方程的时间周期解

第5章练习题

第6章算子半群理论在微分方程中的应用

6．1算子半群理论在泛函微分方程中的应用

6．1．1泛函微分方程的局部解

6．1．2泛函微分方程的整体解

6．2算子半群理论在半线性抛物方程中的应用

6．2．1齐次线性方程初值问题

6．2．2非齐次线性方程初值问题

6．2．3非线性方程的初值问题

6．3算子半群理论在半线性波方程中的应用

6．3．1半线性波方程初边值问题

6．3．2SineGordon方程初边值问题

6．4算子半群理论在时滞反应扩散方程中的应用

6．4．1时滞反应扩散方程的适定性

6．4．2时滞反应扩散方程的算子半群与无穷小生成元

6．4．3两个例子

第6章练习题

参考文献

1.朱健民，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为调和分析与微分方程，现为教育高等学校大学数学课程教学指导委员会委员，从事大学数学教学29年，先后讲授本科生高等数学、线性代数、复变函数及研究生高等泛函分析等课程，出版高等数学（高等教育出版社，入选十二五国家规划教材）和高等数学课程实验（科学出版社），获国家教学成果二等奖一项，2004年被评为全国优秀教师。

2.黄建华，教授，博士，博士生导师，主要从事非线性偏微分方程及其随机动力系统定性研究，先后讲授本科生高等数学、偏微分方程和动力系统等课程，获湖南省自然科学奖二等奖一项，出版教材和著作4本。

3.刘易成，副教授，博士，硕士生导师，研究方向为微分方程与动力系统，讲授高等数学、常微分方程、泛函微分方程等课程，博士论文被评为全国优秀博士论文提名论文。

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编辑推荐

本书内容由浅入深，可作为理工科研究生和高年级本科生教材，也可供相关领域研究人员参考。

前言

泛函分析是从变分法、微分方程、积分方程和理论物理的研究中发展起来的数学分科，其基本理论形成于20世纪30年代。泛函分析综合运用分析、代数、几何及其他数学方法，关注不同数学领域问题的共同特征和性质，并用公理化的方法进行抽象，用统一的观点来处理和理解数学各分支的内容，使得看似属于不同领域的问题从本质上联系起来，因此泛函分析成为现代数学研究的基本工具和方法。泛函分析发展到现在，其内容方法已不仅渗透到几乎所有的数学领域，如函数论、常微分方程和偏微分方程、调和分析，概率论、大范围微分几何、计算数学等，还在数学以外的学科得到广泛的应用，其方法大量用于连续介质力学、电磁场理论、量子场论等学科。

大学本科阶段我们学习的是线性泛函分析的基本理论，它主要研究赋范线性空间及其线性算子的性质，是线性代数中的线性空间和线性变换在无穷维空间的推广，可以视为无穷维线性空间上的几何学和分析学。高等泛函分析是面向研究生的一门数学核心基础课，自然与本科阶段的泛函分析在内容取材方面有所区别，这也是我们将教材取名为“高等泛函分析”的理由，严格来讲应该叫泛函分析选讲。基于此，本课程一方面是为了给数学及相关工科专业研究生提供泛函分析的基础，满足相关专业方向对泛函分析的基本需求，为进入各专业方向课题研究和学习后续课程提供泛函分析的工具和方法； 另一方面，由于其内容综合运用了分析、代数、几何等学科的观点和方法，同时又具有实际背景和应用前景，因此本课程的学习可以训练和提高抽象思维能力、逻辑思维能力以及理论联系实际的创新能力，使学习者受到数学研究的基本分析技巧和审视问题的基本素养的熏陶，这正是研究生阶段需要接受的训练。

国内外不乏泛函分析的优秀教材，但由于作者的学术兴趣、教学目的以及授课对象的基础不同而具有很大的差异性，为适应本校的教学对象，我们在开设本门课程的初期是综合各教材的内容实施教学，这给教和学都带来一些困难。因此，我们在多轮教学讲义的基础上，形成了本教材的基本内容。在内容的选取上，首先介绍了线性泛函分析初步理论，一方面也可以作为相关内容的复习，另一方面，也可以作为泛函分析基础理论的入门素材。接下来介绍非线性算子微积分理论，让读者领略用现代方法处理经典微积分内容的精妙，同时也顺利完成从有限维到无穷维、从线性到非线性的过渡。再其次重点介绍在微分方程和动力系统研究中常用的两个工具——半群理论和拓扑度理论，它们构成本教材的核心内容。后，作为前面方法的综合应用，我们给出了不动点理论和半群理论在研究各种微分方程的应用，包括时滞微分方程、分数阶微分方程、半线性抛物方程、半线性波方程、时滞反应扩散方程以及Banach空间中微分方程等，学生通过这些内容的学习和相关文献的阅读可以直接进入前沿问题研究。

本书前4章（除3.4节）由朱健民编写，3.4节与第6章由黄建华编写，第5章由刘易成编写，刘志明负责部分习题配置及教学实践，全书由朱健民和黄建华统稿。在编写过程中，我们借鉴吸收了大量国内外优秀著作的相关内容，虽然没有一一指出内容出处，但在参考文献中统一列出，在此对相关著作者表示衷心感谢！

尽管我们尽量让内容做到自完备，但大学阶段的基本分析基础还是的，如微积分、线性代数、复变函数、微分方程等内容，泛函分析的预备知识在第1章中给出，但其基本方法和技巧的训练远在内容之外。另外，在内容处理上，我们尽量与熟知的问题相联系，同时通过直观图形帮助读者对内容理解。我们的目的是要编写一本起点恰当、篇幅适中，既好教又好学的教材，但由于作者水平的局限，恐难达到如此要求，只希望错误能尽量少一些，同时也希望得到各位同行的指教！

编者2022年8月