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本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括：向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等. 此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考.

译者序

前言

记号

第0章预备知识

01函数与集合

02纯量

03矩阵

04线性方程组

05行列式

06数学归纳法

07多项式

08多项式与矩阵

09问题

010一些重要的概念

第1章向量空间

11什么是向量空间

12向量空间的例子

13子空间

14线性组合与生成空间

15子空间的交、和以及直和

16线性相关与线性无关

17问题

18注记

19一些重要的概念

第2章基与相似性

21什么是基

22维数

23基表示与线性变换

24 基变换与相似性

25维数定理

26问题

27一些重要的概念

第3章分块矩阵

31行与列的分划

32秩

33分块分划与直和

34分块矩阵的行列式

35换位子与Shoda定理

36Kronecker乘积

37问题

38注记

39一些重要的概念

第4章内积空间

41毕达哥拉斯定理

42余弦法则

43平面中的角与长度

44内积

45内积导出的范数

46赋范向量空间

47问题

48注记

49一些重要的概念

第5章标准正交向量

51标准正交组

52标准正交基

53GramSchmidt方法

54Riesz表示定理

55基表示

56线性变换与矩阵的伴随

57Parseval等式与Bessel不等式

58Fourier级数

59问题

510注记

511一些重要的概念

第6章酉矩阵

61内积空间中的等距

62酉矩阵

63置换矩阵

64Householder矩阵与秩1射影

65QR分解

66上Hessenberg矩阵

67问题

68注记

69一些重要的概念

第7章正交补与正交射影

71正交补

72相容线性方程组的极小范数解

73正交射影

74逼近

75不相容线性方程组的小平方解

76不变子空间

77问题

78注记

79一些重要的概念

第8章特征值、特征向量与几何重数

81特征值特征向量对

82每个方阵有一个特征值

83有多少个特征值

84特征值在何处

85特征向量与交换矩阵

86实矩阵的实相似

87问题

88注记

89一些重要的概念

第9章特征多项式与代数重数

91特征多项式

92代数重数

93相似与特征值重数

94对角化与特征值重数

95可对角化矩阵的函数计算

96换位集

97AB与BA的特征值

98问题

99注记

910一些重要的概念

第10章酉三角化与分块对角化

101Schur三角化定理

102CayleyHamilton定理

103极小多项式

104线性矩阵方程与分块对角化

105交换矩阵与三角化

106特征值调节与Google矩阵

107问题

108注记

109一些重要的概念

第11章Jordan标准型

111Jordan块与Jordan矩阵

112Jordan型的存在性

113Jordan型的性

114Jordan标准型

115微分方程与Jordan标准型

116收敛的矩阵

117幂有界矩阵与Markov矩阵

118矩阵与其转置阵的相似性

119AB与BA的可逆Jordan块

1110矩阵与其复共轭矩阵的相似性

1111问题

1112注记

1113一些重要的概念

第12章正规矩阵与谱定理

121正规矩阵

122谱定理

123偏离正规性的亏量

124FugledePutnam定理

125循环矩阵

126一些特殊的正规矩阵类

127正规矩阵与其他可对角化矩阵的相似性

128正规性的某些特征

129谱分解

1210问题

1211注记

1212一些重要的概念

第13章半正定矩阵

131半正定矩阵

132半正定矩阵的平方根

133Cholesky分解

134二次型的同时对角化

135Schur乘积定理

136问题

137注记

138一些重要的概念

第14章奇异值分解与极分解

141奇异值分解

142紧致奇异值分解

143极分解

144问题

145注记

146一些重要的概念

第15章奇异值与谱范数

151奇异值与逼近

152谱范数

153奇异值与特征值

154谱范数的上界

155伪逆阵

156谱条件数

157复对称阵

158幂等阵

159问题

1510注记

1511一些重要的概念

第16章交错与惯性

161Rayleigh商

162Hermite阵之和的特征值交错

163加边Hermite阵的特征值交错

164Sylvester判别法

165Hermite阵的对角元素与特征值

166Hermite阵的相合与惯性

167Weyl不等式

168正规矩阵的相合与惯性

169问题

1610注记

1611一些重要的概念

附录A复数

参考文献

索引

斯蒂芬•拉蒙•加西亚（Stephan Ramon Garcia） 美国波莫纳学院数学教授，美国数学学会会士。他是4本书的作者，并发表了超过80篇论文。他的研究兴趣包括算子理论、复变量、矩阵分析、数论和离散几何。

罗杰•A. 霍恩（Roger A. Horn） 线性代数和矩阵理论领域国际知名数学专家。1967年获得斯坦福大学数学博士学位，曾任约翰•霍普金斯大学数学系主任，现为犹他大学研究教授。他还曾担任American Mathematical Monthly编辑。

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(3.7.8）

然而，对每个i=1，2，...,n有|akk|≥R'i(A)(A是对角占优的），

前言

在重点关注数据采集以及数据分析的领域，线性代数与矩阵方法越来越显示出其重要性. 因此，这本书是为学习纯数学与应用数学、计算机科学、经济学、工程学、数学生物学、运筹学、物理学以及统计学的学生而写的. 假设读者学习过初级微积分系列课程以及线性代数教程.

本书值得注意的特点包括以下方面：

 系统地用到分块矩阵.

 强调了矩阵以及矩阵分解.

 由于酉矩阵与可行且稳定的算法相关，所以本书中强调了涉及酉矩阵的变换.

 贯穿全书有大量的例子.

 用图形来说明线性代数的几何基础.

 以短小精练的章节涵盖一学期课程的内容.

 有许多章都包含了一些特殊的论题.

 每一章都包含一节问题（总共有600多个问题）.

 注记一节提供了有关额外信息来源的参考资料.

 每一章都总结了在该章中引进的重要概念.

 本书中所用的符号都列在记号表中.

 有超过1700条索引帮助读者确定概念与定义在书中出现的位置，这提高了本书作为参考资料的使用价值.

书中的矩阵与向量空间均相对于复数域而言. 使用复的向量使得对于特征值的研究更加便利，这也是与现代数值线性代数软件相吻合的. 此外，它还与在物理学（量子力学中复的波函数与Hermite矩阵）、电气工程（相位与振幅两者都重要的电路与信号分析）、统计学（时间序列与特征函数）以及计算机科学（快速Fourier变换、迭代算法中的收敛矩阵以及量子计算）中的应用密切相关.

学生在使用这本书学习线性代数时，可以观察并实际使用良好的数学交流技巧. 这些技巧包括：如何细心地陈述（以及阅读）一个定理；如何选择（以及利用）假设；怎样用归纳法、反证法，或者通过证明逆否命题来证明一个命题；如何通过减弱假设或者加强结论来改进一个定理；怎样利用反例；如何对一个问题写出有说服力的解答.

线性代数应用中的许多有用内容都超出了线性变换以及相似性的范围，所以它们不出现在采用算子方法的教材之中. 这些内容包括：

 Gergorin 定理

 Householder 矩阵

 QR分解

 分块矩阵

 离散Fourier变换

 循环矩阵

 非负元素组成的矩阵（Markov矩阵）

 奇异值分解与紧致奇异值分解

 低秩逼近数据矩阵

 广义逆（MoorePenrose逆）

 半正定矩阵

 Hadamard（逐个元素的）乘积与Kronecker（张量）乘积

 矩阵范数

 小平方解与极小范数解

 复对称阵

 正规阵的惯性

 特征值交错与奇异值交错

 包含特征值、奇异值以及对角元素的不等式

这本书是按照如下方式组织的：

第0章复习初等线性代数的定义与结论.

第1章与第2章复习复的与实的向量空间，包括线性无关性、基、维数、秩以及线性变换的矩阵表示.

“第二教程”的内容从第3章开始，它建立了贯穿本书使用的分块矩阵范式.

第4章与第5章复习欧几里得平面上的几何，并利用它来派生出内积空间和赋范线性空间的公理. 内容包括正交向量、正交射影、标准正交基、正交化、Riesz表示定理、伴随以及Fourier级数理论的应用.

第6章引进了酉矩阵，在本书其余部分的结构中都要用到它. 在构造QR分解时要用到Householder矩阵，而QR分解在许多数值算法中都要用到.

第7章讨论正交射影、逼近、线性方程组的小平方（或极小范数）解，以及用QR分解来求解正规方程.

第8章介绍特征值、特征向量以及几何重数. 我们要证明，n×n复矩阵有1到n个相异的特征值，并且要用Gergorin定理来确定复平面中包含它们的一个区域.

第9章处理特征多项式以及代数重数. 我们为对角化建立了判别法，并定义了可对角化矩阵的初等矩阵函数. 内容包括Fibonacci数、AB与BA的特征值、换位子以及同时对角化.

第10章包括令人称奇的Schur定理：每一个方阵都与一个上三角阵（具有一个和交换族有关的结果）酉相似. Schur定理用来证明每个方阵都被它的特征多项式零化. 受后面这个结果的启发而产生了极小多项式这个概念以及对其性质的研究. 这里还证明了关于线性矩阵方程的Sylvester定理，并用它来证明每个方阵都与一个具有单谱对角分块的分块对角矩阵相似.

第11章建立在上一章的基础之上，它要证明每个方阵都相似于一个特殊的分块对角的上双对角矩阵（它的Jordan标准型），这个标准型除了其中直和项的排列次序之外是的. Jordan标准型的应用包括线性微分方程组的初值问题、AB与BA的Jordan构造的分析、收敛矩阵与幂有界矩阵的特征刻画，以及元素为正的Markov矩阵的一个极限定理.

第12章讨论正规矩阵，即与其共轭转置可交换的矩阵. 谱定理说的是：矩阵是正规矩阵，当且仅当它可以酉对角化.已知这一结论的其他多个等价的表述. Hermite矩阵、斜Hermite矩阵、酉矩阵、实正交阵、实对称阵以及循环矩阵都是正规矩阵.

半正定阵是第13章的讨论对象. 这种矩阵是在统计学（相关矩阵以及正规方程）、力学（振动系统中的动能与势能）以及几何学（椭球体）中出现的. 内容包括平方根函数、Cholesky分解以及Hadamard乘积与Kronecker乘积.

第14章主要是奇异值分解，它是统计学、控制论、逼近论、图像压缩以及数据分析中许多现代数值算法的核心. 内容包括紧致奇异值分解与极分解，并特别关注这些分解的性问题.

在第15章里，用奇异值分解来压缩图像或者压缩数据矩阵. 这一章里讨论的奇异值分解的其他应用有矩阵的广义逆（MoorePenrose逆）、奇异值与特征值之间的不等式、矩阵的谱范数、复对称矩阵以及幂等矩阵.

第16章研究加边的或者遵从一个附加摄动的Hermite矩阵的特征值交错现象. 相关的讨论包括奇异值的交错定理、正定性的行列式判别法以及刻画Hermite矩阵的特征值和对角元素的不等式. 我们要证明关于Hermite矩阵的Sylvester惯性定理以及关于正规矩阵的一个推广的惯性定理.

在前言后面有一个记号一览表. 在第16章后面有复数的复习资料以及一系列参考文献. 本书末尾附有详细的索引.

封面（指英文原书）图片是2002年纽约的一位艺术家LunYi Tsai所绘的一幅名为《又是夏天》的画，这位画家的工作常常受到数学题材的启发.

感谢Zachary Glassman做了许多图表，并回答了我们关于LaTex的问题.

感谢Dennis Merino、Russ Merris以及Zhongshan Li，他们仔细阅读了本书的初稿.

感谢2014年与2015年秋季参加作者在Pomona学院举办的高等线性代数课程的学生. 特别要感谢Ahmed Al Fares、Andreas Biekert、Andi Chen、Wanning Chen、Alex Cloud、Bill DeRose、Jacob Fiksel、Logan Gilbert、Sheridan Grant、Adam He、David Khatami、Cheng Wai Koo、Bo Li、Shiyue Li、Samantha Morrison、Nathanael Roy、Michael Someck、Sallie Walecka以及Wentao Yuan，他们指出了本书初稿中的若干错误.

还要特别感谢Ciaran Evans、Elizabeth Sarapata、Adam Starr以及Adam Waterbury对本书极其认真的审校.

S. R. G

R. A. H

书籍介绍

本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等。此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考.